Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте их на угол. Зависимость между моментами инерции при повороте осей. Геометрические характеристики сложных составных поперечных сечений

Вычислим моменты инерции J u , J v и J uv :

Сложив первые две формулы (3.14), получим J u + J v = J z + J y , т.е. при любом повороте взаимно перпендикулярных осей сумма осевых моментов инерции остается величиной постоянной (инвариантом).

Главные оси и главные моменты инерции

Исследуем функцию J u (a) на экстремум. Для этого приравняем нулю производную J u (a) по a.

Ту же самую формулу получим, приравнивая нулю центробежный момент инерции

.

Главными осями называют оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, а центробежный момент инерции равен нулю.

Главных осей инерции можно провести бесчисленное множество, взяв в качестве начала координат любую точку на плоскости. Для решения задач сопротивления материалов нас интересуют только главные центральные оси инерции. Главные центральные оси инерции проходят через центр тяжести сечения.

Формула (3.17) дает два решения, отличающихся на 90°, т.е. позволяет определить два значения угла наклона главных осей инерции относительно первоначальных осей. Относительно какой из осей получается максимальный осевой момент инерции J 1 = J max , а относительно какой – минимальный J 2 = J min , придется решать по смыслу задачи.

Более удобными оказываются другие формулы, которые однозначно определяют положение главных осей 1 и 2 (даются без вывода). При этом положительный угол отсчитывается от оси Оz против часовой стрелки.

В формуле (3.19) знак «+» соответствует максимальному моменту инерции, а знак «–» минимальному.

Замечание. Если сечение имеет хотя бы одну ось симметрии, то относительно этой оси и любой другой, ей перпендикулярной, центробежный момент инерции равен нулю. В соответствии с определением главных осей инерции можно заключить, что эти оси являются главными осями инерции, т.е. ось симметрии – всегда главная центральная ось.

Для симметричных профилей, представленных в сортаменте, швеллера или двутавра, главными центральными осями инерции будут вертикальная и горизонтальная оси, пересекающиеся на половине высоты профиля.

Рассмотрим плоскую фигуру с известными геометрическими характеристиками 1 Х , 1 у и 1 ху относительно осей х и у (рис. 3.3). Определим с их помощью значения аналогичных геометрических характеристик относительно осей и и v, которые составляют с начальной системой угол а.

Вычислим координаты центра тяжести бесконечно малого элемента площади dA в новой координатной системе и и v:

Рис. 3.3.

Момент инерции относительно повернутой оси Ои будет равен

Используя обозначения геометрических характеристик относительно исходных осей, получим

Для двух остальных геометрических характеристик формулы получаем аналогично:

Полученные формулы преобразуем с помощью тригонометрических формул

После преобразования формулы для вычисления осевых н центробежного моментов инерции при повороте осей приобретают вид

Главные оси и главные моменты инерции

Ранее было отмечено, что сумма осевых моментов является постоянной величиной. Легко убедиться в том, что это положение следует также и из формул (3.22):

Оси, относительно которых моменты инерции принимают максимальное и минимальное значения, называются главными осями главными моментами инерции.

При повороте осей величины осевых моментов изменяются, поэтому должна существовать пара взаимно перпендикулярных главных осей, относительно которых моменты инерции достигают минимального и максимального значений. Докажем это положение. Для этого исследуем на экстремум осевой момент инерции 1 и:

Поскольку выражение в скобках должно равняться нулю, получаем формулу, позволяющую определить положение одной из главных осей:

Угол а 0 , отсчитываемый от оси Ох против часовой стрелки, определяет положение главной оси относительно оси Ох. Докажем, что перпендикулярная этой оси ось также является главной. Подставим в выражение для

производной угол а 0 + -:

Таким образом, главные оси являются взаимно перпендикулярными осями.

Обратим внимание на то, что выражение в скобках согласно третьей формуле (3.22) соответствует центробежному моменту. Таким образом, мы доказали, что центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю.

Воспользуемся этим результатом и выведем формулу для вычисления главных моментов инерций. Для этого вторую и третью формулы (3.22) перепишем в следующем виде:

Возводя в квадрат и складывая правые и левые части обоих уравнений, получаем

Отсюда следует формула для вычисления двух главных моментов инерции:

В формуле (3.25) знак «плюс» соответствует максимальному главному моменту инерции, а знак «минус» - минимальному его значению.

В отдельных частных случаях положение главных осей можно определить без расчетов. Так, если сечение симметричное, то ось симметрии является одной из главных осей, а второй осью является любая ось, ей перпендикулярная. Это положение непосредственно следует из равенства нулю центробежного момента инерции относительно осей, одна из которых является осью симметрии.

Среди всех пар главных осей можно выделить особую пару, обе оси которой проходят через центр тяжести сечения.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями , а моменты инерции относительно таких осей - главными центральными моментами инерции.

Как было уже отмечено, поворот системы координат вызывает изменение геометрических характеристик плоских фигур. Можно показать, что совокупность геометрических характеристик, принадлежащих данному сечению, описывается симметричным тензором, называемым тензором инерции сечения, который можно записать в виде матрицы:

Первый инвариант тензора инерции, представляющий собой сумму осевых моментов инерции, был нами получен ранее (см. формулу (3.23)). Второй инвариант тензора инерции имеет вид

Эта величина будет использована при получении общего решения для изгиба стержня.

Рассмотрим изменение моментов инерции при повороте осей координат. Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осейx и y (не обязательно центральных). Требуется определитьJ u , J v , J uv - моменты инерции относительно осейu , v , повернутых на угола. Так проекцияОАВС равна проекции замыкающей:

u = y sin а + x cos a (1)

v=y cos a – x sin a (2)

Исключим u,vв выражениях моментов инерции:

J u = ∫v 2 dF ; J v = ∫u 2 dF ; J uv = ∫uvdF . Подставив в выражения (1) и (2) получим:

J u =J x cos 2 a – J xy sin 2a + J y sin 2 a

J v =J x sin 2 a + J xy sin 2a + J y cos 2 a (3)

J uv =J xy cos2a + sin 2a(J x -J y )/2

J u + J v = J x + J y = ∫ F (y 2 + x 2 ) dF => Сумма осевых моментов инерции относительно 2х взаимно перпенд. Осей не зависит от углаа. Заметим, чтоx 2 + y 2 = p 2 . p - расстояние от начала координат до элементарной площадки. Т.о.J x + J y = J p .(4)

J p =∫ F p 2 dF – полярный момент, не зависит от поворотах,у

2)Т. Кастелиано.

Частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы.

Рассмотрим стержень, нагруженный произвольной системой сил и закрепленный как показано на рис.

Пусть потенциальная энергия деформации, накопленная в объеме тела в результате работы внешних сил, равна U. Силе F n дадим приращение d F n . Тогда потенциальная энергия U получит приращение
и примет видU+
.(5.4)

Изменим теперь порядок приложения сил. Приложим сначала к упругому телу силу dPn. В точке приложения этой силы возникнет соответственно малое перемещение, проекция кото­рого на направление силы dPn равна. dδ n . Тогда работа силы dPn оказывается равной dPn· dδ n /2. Теперь приложим всю си­стему внешних сил. При отсутствии силы dPn потенциальная энергия системы снова приняла бы значение U . Но теперь эта энергия изменится на величину дополнительной работы dPn ·δ n которую совершит сила dPn на перемещении δ n , вызванном всей системой внешних сил. Величина δ n опять представля­ет собой проекцию полного перемещения на направление силы Рn.

В итоге при обратной последовательности приложения сил выражение для потенциальной энергии получаем в виде

(5.5)

Приравниваем это выражение выражению (5.4) и, отбрасывая произведение dPn· dδ n /2 как величину высшего порядка мало­сти, находим

(5.6)

Билет 23

Кому-то не повезло

Билет 24

1) Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения (определение напряжений и перемещений). Кручение бруса прямоугольного сечения, напряжения в поперечном сечении

При этом нарушается закон плоских сечений, сечения некруглой формы при кручении искривляются – депланация поперечного сечения.

Эпюры касательных напряжений прямоугольного сечения.

;
, Jk и Wk - условно называют моментом инерции и моментом сопротивления при кручении. Wk=hb2,

Jk= hb3, Максимальные касательные напряженияmax будут посредине длинной стороны, напряжения по середине короткой стороны:=max, коэффициенты:,,приводятся в справочниках в зависимости от отношения h/b (например, при h/b=2,=0,246;=0,229;=0,795.

При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две ос­новные задачи. Вопервых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, вовторых, надо найти угловые перемеще­ния сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.

Вычислим моменты инерции фигуры произвольной формы относительно осей, повернутых относительно заданных осей и
на угол(Рис.4.14)

Пусть моменты инерции относительно осей
и
известны. Выберем произвольную площадку
и выразим ее координаты в системе осей
и
через координаты в прежних осях
и
:

Найдем осевые и центробежный моменты инерции фигуры относительно повернутых осей
и
:

Принимая во внимание, что

;
и
,

Таким же образом установим:

Центробежный момент инерции принимает вид:

. (4.30)

Выразим осевые моменты через синус и косинус двойного угла. Для этого введем следующие функции:

. (4.31)

Подставляя (4.31) в формулы (4.27) и (4.28), получим:

Если сложить выражения для осевых моментов инерции (4.32) и (4.33), то получим:

Условие (4.34) представляет условие инвариантности суммы осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, т.е. сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от величины угла поворота осей и является величиной постоянной. Ранее это условие было получено на том основании, что сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равнялась величине полярного момента инерции относительно точки пересечения этих осей.

Исследуем уравнение для момента инерции на экстремум и найдем такое значение угла, при котором момент инерции достигнет экстремальной величины. Для этого возьмем первую производную от момента инерциипо углу(выражение (4.32)) и результат приравняем нулю. При этом положим
.

(4.35)

Выражение в скобках представляет собой центробежный момент инерции относительно осей, наклоненных к оси
под углом. Относительно этих осей центробежный момент инерции равен нулю:

, (4.36)

а это означает, что новые оси являются главными осями.

Ранее было определено, что главными осями инерции являются оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Сейчас это определение можно расширить – это оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения . Моменты инерции относительно этих осей называютсяглавными моментами инерции .

Найдем положение главных осей инерции. Из выражения (4.36) можно получить:

. (4.37)

Полученная формула дает для угла два значения:и
.

Следовательно, существуют две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых моменты инерции имеют экстремальные значения. Как уже отмечалось выше, такие оси называются главными осями инерции. Остается установить, относительно какой из осей момент инерции достигает максимального значения, а относительно какой – минимального значения. Решить эту задачу можно путем исследования второй производной от выражения (4.32) по углу . Подставив в выражение для второй производной значение углаили
и исследуя знак второй производной, можно судить о том, какой из углов соответствует максимальному моменту инерции, какой – минимальному. Ниже будут приведены формулы, которые дадут однозначное значение угла.

Найдем экстремальные значения для моментов инерции. Для этого преобразуем выражение (4.32) , вынося за скобку
:

Используем известную из тригонометрии функцию и подставим в нее выражение (4.37), получим:

. (4.39)

Подставляя в формулу (4.38) выражение (4.39) и производя необходимые вычисления, получаем два выражения для экстремальных моментов инерции, которые не включают в себя угол наклона осей :

; (4.40)

. (4.41)

Из формул (4.40) и (4.41) видно, что величины главных моментов инерции определяются непосредственно через моменты инерции относительно осей
и
. Поэтому их можно определять, не зная положения самих главных осей.

Зная экстремальные значения моментов инерции
и
можно помимо формулы (4.37) определять положение главных осей инерции.

Приведем без вывода формулы, позволяющие находить углы имежду осью
и главными осями:

;
(4.42)

Угол определяет положение оси, относительно которой момент инерции достигает максимальной величины (
), уголопределяет положение оси, относительно которой момент инерции достигает минимальной величины (
).

Введем еще одну геометрическую характеристику, которая называется радиусом инерции сечения. Обозначается эта характеристика буквой и может быть вычислена относительно осей
и
следующим образом:

;
(4.43)

Радиус инерции находит широкое применение в задачах сопротивления материалов и его применение будет рассмотрено в следующих разделах курса.

Рассмотрим несколько примеров расчетов конструкций с учетом поворота осей и с использованием радиуса инерции сечения.

Пример 4.7. Моменты инерции сечения прямоугольной формы относительно главных осей равны соответственно
см 4 ,
см 4 . При повороте на 45 0 моменты инерции относительно новых осей оказались одинаковыми. Чему равна их величина?

Для решения задачи воспользуемся выражением (4.28) с учетом того, что центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю:

Подставим в формулу (а) численные значения для моментов инерции и угла поворота осей:

Пример 4.8. У которой из фигур (Рис.4.15), имеющих одинаковую площадь, радиус инерции относительно оси , будет наибольшим? Определить наибольший радиус инерции сечения относительно оси .

1. Найдем площадь каждой из фигур и размеры сечений. Площадь фигур равняется для третьей фигуры см 2 .

Диаметр первого сечения найдем из выражения:

см.

Размер стороны квадрата:

Основание треугольника:

см.

2. Находим моменты и радиусы инерции каждого из сечений относительно центральной оси .

Для сечения круглой формы:

см 4 ;
см.

Для сечения квадратной формы:

см 4 ;
см.

Для сечения прямоугольной формы:

;

Для сечения треугольной формы:

см 4 ;
см.

Наибольший радиус инерции оказался у сечения прямоугольной формы и равен он
см.

Центральных осей можно провести сколько угодно. Является вопрос, нельзя ли выразить момент инерции относительно любой центральной оси в зависимости от момента инерции относительно одной или двух определенных осей. Для этого посмотрим, как будут меняться моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте их на угол.

Возьмем какую-либо фигуру и проведем через ее центр тяжести О две взаимно перпендикулярные оси Оу и Oz (Рис. 2).

Рис. 2.

Пусть нам известны осевые моменты инерции относительно этих осей, а также центробежный момент инерции.Начертим вторую систему координатных осей и наклоненных к первым под углом; положительное направление этого угла будем считать при повороте осей вокруг точки О против часовой стрелки. Начало координат О сохраняем. Выразим моменты относительно второй системы координатных осей и, через известные моменты инерции и.

Напишем выражения для моментов инерции относительно этих осей:

Из чертежа видно, что координаты площадки dF в системе повернутых осей будут:

Подставляя эти значения и в формулы (14.9), получим:

или момент инерция плоский ось

Аналогично:

Первые два интеграла выражений (4) и (5) представляют собой осевые моменты инерции и, а последний -- центробежный момент инерции площади относительно этих осей. Тогда:

Для решения задач могут понадобиться формулы перехода от одних осей к другим для центробежного момента инерции. При повороте осей (Рис.2) имеем:

где и вычисляются по формулам (14.10); тогда

После преобразований получим:

Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси, надо знать моменты инерции и относительно системы каких-нибудь двух взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Oz, центробежный момент инерции относительно тех же осей и угол наклона оси к оси у.

Для вычисления же величин > , приходится так выбирать оси у и z и разбивать площадь фигуры на такие составные части, чтобы иметь возможность произвести это вычисление, пользуясь только формулами перехода от центральных осей каждой из составных частей к осям, им параллельным. Как это сделать на практике, будет показано ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для которых по возможности известны величины центральных моментов инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей.

Заметим, что ход вывода и полученные результаты не изменились бы, если бы начало координат было взято не в центре тяжести сечения, а в любой другой точке О. Таким образом, формулы (6) и (7) являются формулами перехода от одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой, повернутой на некоторый угол, независимо от того, центральные это оси или нет.

Из формул (6) можно получить еще одну зависимость между моментами инерции при повороте осей. Сложив выражения для и получим

т.е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и z не меняется при их повороте. Подставляя последнее выражение вместо и их значения, получим:

где -- расстояние площадок dF от точки О. Величина является, как уже известно, полярным моментом инерции сечения относительно точки О.

Таким образом, полярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Поэтому эта сумма и остается постоянной при повороте осей. Этой зависимостью (14.16) можно пользоваться для упрощения вычисления моментов инерции. Так, для круга:

Так как по симметрии для круга то

что было получено выше путем интегрирования.

Точно также для тонкостенного кольцевого сечения можно получить.